平均值性質（mean-value property）

這裡是調和函數最具特徵的單一事實，聽起來幾乎乾淨得不像真的：任一點的值恰好等於繞該點所畫任一圓（或球面）上各值的平均。無論圓畫得多大，只要落在區域內，中心值就等於邊緣的平均。調和函數在每一點、每個尺度上，都完美地自我平均。

精確地說，若 u 在某區域上調和，且以點 p 為心、半徑 r 的球落在其內，則 u(p) 等於 u 在以 p 為心、半徑 r 的球面上的平均，也等於 u 在整個實心球上的平均。原因正是方程本身：Laplacian u = 0 說 u 無淨曲率，故那些會把邊緣平均拉高於中心的貢獻，恰好被把它拉低的貢獻抵消。值得注意的是逆命題也成立——一個在每個小球面上都具平均值性質的連續函數，自動是調和的。所以平均值性質不只是拉普拉斯方程的推論；它是調和性的等價定義，而且往往是更有用的那個。

幾乎整個定性理論都由這一個性質導出。最大值原理立即可得：u 取最大的點不可能超過其周圍球面上的平均，除非 u 在該處為常數，故內部極大不可能。平滑性隨之而來，因為在球上取平均是一種平滑運算。哈納克不等式、劉維定理、以及各收斂定理全都回溯到平均值。它也是機率圖像背後的引擎：調和函數在一點的值，等於從該點出發的隨機漫步所抵達邊界值的期望值。