調和函數（harmonic function）
調和函數是完美平衡、無張力場的黃金標準。把肥皂膜張在一個鐵絲圈上讓它安定：它的高度是調和的——每一點恰好坐落在其周圍一圈點的平均高度上，所以膜上沒有任何可以鬆弛掉的隆起。平衡溫度、空無區域中的靜電位勢、以及張緊薄膜的高度，全都是調和函數。
精確地說，若 u 在某區域上二次連續可微且滿足拉普拉斯方程 Laplacian u = 0，則稱 u 在該區域上調和。一個令人驚訝的事實使這定義比表面更豐富：這個單一方程強制了平均值性質——u 在任一點的值等於它在以該點為心、落在區域內的每個球面（與每個球體）上的平均。這兩種說法等價。由此湧出一連串推論：調和函數自動無窮可微、實際上是實解析的，即便你只假設了兩階導數；它們服從最大值原理（內部無極大或極小）；而且極為剛性——知道 u 在邊界上的值，就確定了它在內部各處的值。
在平面上還有一個美妙的紅利：任一複解析函數的實部與虛部都是調和的，反之每個調和函數在局部都是某解析函數的實部。所以平面位勢論與複分析是同一門學問的兩面。一個常見誤解是以為「調和」意味著像正弦波那樣振盪；這名字其實來自振動膜的諧波，但調和函數本身是平滑、不振盪的平衡——它完全沒有擺動的餘地。
在二維中，u(x, y) = x^2 - y^2 是調和的：u_xx = 2、u_yy = -2，故 u_xx + u_yy = 0。u = x y、u = e^x cos y、以及在原點以外的 u = log(x^2 + y^2) 也都是。每個都是某解析函數（z^2、z^2/2、e^z、log z）的實部或虛部。
快速檢驗：把各純二階偏導數相加；若它們互相抵消，函數就是調和的。
調和不代表小或有界——log(x^2+y^2) 在原點處發散，x^2-y^2 則無界增長。它的定義性質是局部平衡（Laplacian u = 0），而非大小。而在一維中調和只意味 u_xx = 0，也就是一條直線——豐富的理論需要二維以上。