拉普拉斯方程（Laplace's equation）

想像一塊薄金屬板，邊緣被固定在某些溫度——一邊熱、一邊冷——然後等很久，直到一切都不再變化。板子內部的溫度便安頓成一個平滑、平衡的分布：每一點恰好是其鄰居的平均，不會自行冒出熱點或冷點。拉普拉斯方程正是描述這種完美平衡狀態的規則，它是所有橢圓型方程中最著名的一個。

寫出來就是 Laplacian u = 0，其中拉普拉斯算子是各純二階偏導數之和：在二維為 u_xx + u_yy = 0，在三維為 u_xx + u_yy + u_zz = 0。u 在某點的拉普拉斯算子衡量該處的 u 與其在一個微小周圍球面上平均值的差距；令它為零即說處處沒有這種差距——u 處處恰好等於其局部平均。滿足此方程的 u 稱為調和函數。由於沒有時間變數，u 只依賴位置：拉普拉斯方程描述的是穩態，而非演化。

凡是某量達到平衡之處它都會出現：熱方程停止變化後的穩態溫度（u_t = 0）、無電荷區域中的靜電位勢、真空中的重力位勢、不可壓縮且無旋流體的速度位勢。因為它是橢圓型且沒有特徵線，它具有平滑化與剛性：解由其在整個邊界上的值決定，而在一條曲線上指定柯西資料（函數值與法向導數）是出了名的不適定（哈達瑪）。它的脾性與波動方程相反——只有平衡，沒有傳播。