拉普拉斯算子（Laplacian）
/ lah-PLAH-see-an, after Laplace (lah-PLAHSS) /
在 PDE 所有的導數組合中，有一個出現得如此頻繁，值得獨立成條：拉普拉斯算子。用白話說，它在每一點回答一個問題——這裡的 u 比周圍一圈的 u 平均值大還是小？若某點的 u 低於局部平均，拉普拉斯算子為正；高於則為負；若 u 恰等於周圍平均，則為零。這個「與平均值相比較」的想法，正是拉普拉斯算子之所以主宰熱、電、重力以及幾乎一切穩態的祕密。
用符號寫，u 的拉普拉斯算子是各個非混合二階導數之和。二維中 Laplacian u = u_xx + u_yy；三維中為 u_xx + u_yy + u_zz。它有好幾種寫法——Laplacian u、nabla^2 u 或 Delta u——都是同一個算子，即梯度的散度（div grad u）。看出「平均」含義的乾淨方法：在一維中，u_xx 恰在 u 的圖形凹向上之處為正，也就是該點落在連接其鄰點的弦之下方時。拉普拉斯算子就是這個曲率的多維版本，對每個座標方向加總。
拉普拉斯算子是整門學科的主力。拉普拉斯方程 Laplacian u = 0 描述平衡態——肥皂膜、穩定溫度、真空中的靜電位；其解稱為調和函數。加上一個源就得到帕松方程（Poisson's equation）Laplacian u = f。加上時間，拉普拉斯算子便驅動擴散（u_t = k Laplacian u）與波動（u_tt = c^2 Laplacian u）。它具有旋轉對稱性——無論你怎麼轉動座標軸看起來都一樣——這正是它能描述空間中沒有偏好方向的物理現象的原因。
對 u(x, y) = x^2 - y^2 有 u_xx = 2 與 u_yy = -2，故 Laplacian u = 2 + (-2) = 0。因此這個 u 是調和函數：它滿足拉普拉斯方程。兩個曲率恰好抵消，這正是平衡的標誌。
當拉普拉斯算子處處為零時，u 處於平衡——在任何一點既不堆積也不流失。
拉普拉斯算子只加總純（非混合）二階導數 u_xx、u_yy、u_zz；混合項 u_xy 不在其中。在曲線座標（極座標、球座標）中拉普拉斯算子會多出額外的項——它並非單純是「對 r 的二階導數加上對 theta 的二階導數」，這是值得記住的陷阱。