齊次與非齊次偏微分方程
對任何線性 PDE，你都可以問一個簡單的是非題，而它的影響極其重大：有沒有什麼東西從外部驅動它？若一條方程的每一項都牽涉未知函數 u（或其導數），使得 u = 0 自動成為一個解——沒有任何東西被加入——它就是齊次的。若有一個完全不含 u 的額外項：一個源、一個強迫、一股使 u 不會單純為零的餵入——它就是非齊次的。
寫成 L[u] = g（L 為線性算子）時，g = 0 是齊次，g 為某個給定的非零自變數函數時是非齊次。拉普拉斯方程 Laplacian u = 0 是齊次——空無一物的空間、沒有電荷；帕松方程 Laplacian u = f 是其非齊次版本，其中 f 是作為位勢之源的電荷或質量分布。樸素的熱方程 u_t = k u_xx 是齊次（熱只是自我重新分配）；加上一個加熱器就得到 u_t = k u_xx + Q(x, t)，非齊次，由 Q 把能量灌入。
這個區別是線性問題求解方式的骨幹。非齊次線性 PDE 的通解，等於一個特解（整條方程的任一個解）加上相應齊次方程的通解——與線性代數和線性 ODE 完全一樣。於是你把工作拆開：先解齊次方程以掌握自由度（這正是疊加與特徵函數展開的居所），再找出對源的任一個特定回應。杜阿梅原理與格林函數等方法，正是從源項系統地建造出該特解的機器。
齊次／非齊次的配對：Laplacian u = 0 對 Laplacian u = f（拉普拉斯對帕松）；u_t = k u_xx 對 u_t = k u_xx + Q(x, t)；u_tt = c^2 u_xx 對 u_tt = c^2 u_xx + F(x, t)（自由振動對受驅動的弦）。右邊加上的項就是源。
左邊是同一個算子；右邊出現非零項，就把齊次方程變成非齊次方程。
當心 PDE 中「齊次」一詞的兩種用法：此處意指「沒有源項」。同一個詞也用於「齊次邊界條件」（邊界資料設為零）——這是相關但不同的概念。脈絡會告訴你指的是哪一個；兩者可以各自獨立地存在或不存在。