線性偏微分方程
整門學科最重要的分岔就是線性對非線性，而線性 PDE 是友善的那一側。直覺是：在線性方程中，未知函數 u 及其導數永遠只「樸素地」出現——乘上已知係數再相加——從不彼此相乘、從不平方、從不被塞進正弦或指數函數。把所有輸入加倍，輸出就加倍；把兩個情境相加，它們的效應也相加。正是這種溫和、毫無意外的行為，使線性 PDE 容易處理得多。
精確地說，若一條 PDE 能寫成 L[u] = f，其中 L 是線性微分算子——意即對任意常數 a、b 與函數 u、v 都有 L[a u + b v] = a L[u] + b L[v]——它就是線性的。實務上這表示每一項都是一個係數（可以依賴自變數 x、t，但不能依賴 u）乘上 u 或它的某個導數的一次方，彼此之間沒有乘積。所以 u_t = k u_xx 是線性；u_t + x u_x = 0 是線性（係數 x 沒問題——它只依賴自變數）；但 u_t + u u_x = 0 不是，因為 u 乘上了自己的導數，而 u_t = u^2 也不是，因為有平方。
線性之所以是會下金蛋的鵝，是因為它解鎖了疊加原理：齊次方程任何解的和仍是解。光是這個事實，就是傅立葉級數、特徵函數展開、轉換法與格林函數背後的引擎——你針對簡單的積木輸入求解，再把各部分相加以達到任意輸入。本學科幾乎每一種乾淨的閉式解法都默默假設了線性。非線性方程因疊加失效，是一片更狂野、且在很大程度上獨立的領域。
線性：u_t = k u_xx、u_xx + u_yy = 0、u_t + sin(x) u_x = e^t（變係數與一個強迫項仍然沒問題）。非線性：u_t + u u_x = 0（柏格斯方程，u 與導數的乘積）、u_xx + u_yy = u^3、(u_x)^2 + (u_y)^2 = 1（程函方程）。
線性允許係數依賴 x 與 t，但禁止 u 或其導數彼此相乘或被平方。
常見的失誤：線性 PDE 仍可以有強迫項 f 以及依賴 x、t 的變係數——這不破壞線性。破壞線性的是任何係數中對 u 本身的依賴，或 u 與其導數的任何乘積／冪次。「線性」指的是未知函數 u，而非係數。