半線性偏微分方程
非線性方程並非全都同樣狂野，數學家依非線性藏在何處來分類。半線性 PDE 是越過線性後最溫和的一步：最高階導數仍然線性出現，係數只依賴自變數——但低階部分（u 本身以及可能的一階導數）允許透過一個非線性函數進入。方程的「前緣」很乖；只有拖在後面的低階項在搗亂。
用一個二階例子具體化。像 u_xx + u_yy = f(x, y, u) 這樣的方程是半線性的：主部 u_xx + u_yy 恰是線性的拉普拉斯算子、常係數，所有非線性都坐落於源 f，而 f 可以透過立方、指數、任何方式扭曲 u——但比如 u^3，並不含導數。比較 u_xx + u_yy = u^3（半線性，因為立方只作用在 u 上）與 u_xx + u_yy = (u_x)^2（非半線性，因為非線性 (u_x)^2 牽涉導數）。判準是：在半線性方程中，乘上最高階導數的係數只是 x、t 的函數，絕不依賴 u 或其導數。
為何要在意這些細節？因為一條 PDE 的型別與定性理論幾乎完全由它的最高階（主）部所主宰。既然半線性方程有線性的主部，它就「繼承」了相應線性方程的分類——橢圓、拋物或雙曲——而許多工具（能量估計、最大值原理）小心地沿用過來。像 u_t = D Laplacian u + f(u) 這樣的反應擴散方程，用於模擬燃燒、神經脈衝與圖案形成，就是半線性的——而非線性反應項 f(u) 正是有趣的生物與化學所在之處。
半線性：u_t = u_xx + u(1 - u)（費雪-KPP 方程，反應項 u(1-u) 不含導數）、Laplacian u = e^u（劉維方程）。非半線性：u_t + u u_x = u_xx（項 u u_x 中 u 乘上一階導數——那反而是擬線性）。
半線性 = 主部為線性、係數為常數或僅依賴 x、t；非線性只出現在 u 以及可能的低階導數中。
半線性與擬線性之間的界線，正是在於最高階處的非線性內部是否出現導數。若最高階導數的係數依賴 u（例如 u u_xx），那是擬線性而非半線性——這個區別是精確的，並非品味問題。