完全非線性偏微分方程
在非線性階梯的最遠端坐著最難的一類：完全非線性 PDE，連最高階導數都以非線性方式進入。任何地方都沒有線性可倚靠——最高階導數可以被平方、彼此相乘，或埋進某個函數裡。若說線性方程溫和、半線性在頂端馴服、擬線性頂端線性但耦合，那麼完全非線性方程就是真正未馴服的前沿。
決定性的判準在於最高階導數的遭遇。在完全非線性方程中，它們透過一個非線性函數出現——例如 (u_x)^2 + (u_y)^2 = 1，即程函方程（eikonal equation），其中一階導數被平方；或蒙日-安培方程 u_xx u_yy - (u_xy)^2 = f，其中二階導數彼此相乘。對照擬線性，同樣這些最高階導數只會以一次方出現。由於主部不再線性，你無法讀出簡單的型別，也無法套用疊加或轉換法；古典的食譜大多失效。
這些方程並非奇異的珍玩——它們主宰幾何光學與波前（程函方程）、最佳運輸與指定曲率的曲面（蒙日-安培）、以及最佳控制與金融（漢米頓-雅可比-貝爾曼方程）。要理解它的解，往往得完全放棄古典的、處處可微的解，改採更弱的概念，例如黏性解——這套框架正是為了處理完全非線性的一階與二階方程而建立，在其中導數可能不以尋常意義存在，但仍有一個穩健、適定的解概念存活下來。
完全非線性：(u_x)^2 + (u_y)^2 = 1（程函方程，一階導數被平方）、u_xx u_yy - (u_xy)^2 = f（蒙日-安培方程，二階導數相乘），以及當 H 對梯度為非線性時的漢米頓-雅可比方程 u_t + H(grad u) = 0。
最高階導數本身以非線性方式進入——被平方或相乘——因此沒有線性的主部。
這四類構成嚴格的層級：線性是半線性的特例，半線性是擬線性的特例，擬線性是完全非線性的特例。「完全非線性」特指非線性觸及最高階導數；只在低階項中非線性的方程僅是半線性，而非完全非線性。