擬線性偏微分方程

再往非線性世界深入一級，你就抵達擬線性方程——而這裡正是大自然許多最戲劇性現象的居所，例如逐漸變陡並碎裂的波。擬線性 PDE 對其最高階導數而言仍是線性的，意思有限：那些最高階導數只以一次方出現、且不彼此相乘——但現在它們的係數允許依賴 u 本身以及它的低階導數。這方程「凍結 u 後是線性的」，但 u 本身就是主宰 u 的規則的一部分，從而以出人意料的方式回饋。

最乾淨的例子是無黏柏格斯方程 u_t + u u_x = 0。最高階導數 u_t 與 u_x 各以一次方出現，所以它是擬線性——但 u_x 的係數正是未知函數 u 本身。從物理上讀，這方程說每一個 u 值都以等於自身高度的速度向右行進：波的高處比低處跑得快。於是一個起初平滑的剖面會向前傾、變陡，經過有限時間後波前變成垂直——導數 u_x 爆破、震波形成。沒有任何線性方程能做到這件事；u 回饋進自身傳輸速度，就是整個故事。

擬線性方程是守恆律（流體與氣體中的質量、動量、能量）、交通流以及許多幾何流的天然居所。由於最高階導數的係數依賴於解，連方程的性格——何處表現得像波、何處可能變陡——都會隨 u 演化而因地因時而異。這正是為何有限時間爆破、震波，以及對弱解與熵條件的需求都最先在此出現，也是為何一階擬線性方程要用特徵線法求解——沿著一些曲線行進，方程在其上塌縮為一條 ODE。