橢圓型（elliptic type）
想像一張肥皂膜繃在一個彎曲的鐵絲圈上，或是一塊金屬板邊緣固定在某些溫度時內部的穩態溫度，又或是帶電板之間的靜電位勢。在每一種情形裡，沒有任何東西隨時間改變——一切都安頓進了平衡狀態，而內部每一點的值都是其鄰域的某種溫和平均。描述這個安頓下來的平衡世界的方程，就是橢圓型，三大家族中最平靜、最平滑的一個。
形式上，二階線性偏微分方程 A u_xx + 2B u_xy + C u_yy +（低階項）= 0 在某點為橢圓型，當且僅當其判別式在該點 B^2 - AC < 0。名字來自相伴的二次型 A p^2 + 2B p q + C q^2，這種情形下它的等位曲線是橢圓。其定義原型是拉普拉斯方程 u_xx + u_yy = 0（此處 A=C=1、B=0，故 B^2 - AC = -1 < 0）。標誌性的後果是沒有實的特徵曲線：方程沒有任何資訊得以沿之奔流的優先方向，這正是橢圓型解如此平淡而平滑的原因——事實上，拉普拉斯方程的解是實解析的、無窮可微的，即使邊界資料粗糙亦然。
什麼樣的資料才適合橢圓型方程？整圈圍住封閉區域的邊界資料——在整個邊界上指定 u（狄利克雷問題）或其法向導數（諾伊曼問題），內部就被決定了。這是邊界值問題，而非初始值問題：根本沒有可供向前推進的時間。這裡藏著一個關鍵的誠實警告——試圖在一段開曲線上加上柯西（初始）資料並像處理波那樣向前推進，對橢圓型方程是不適定的（哈達瑪的例子）：資料中最微小的擺動就會讓解爆炸。型別真的決定了資料。
圓盤上拉普拉斯方程的狄利克雷問題——固定圓周上的溫度，求內部的溫度——是橢圓型問題的典範；它恰有一個平滑的答案（由帕松積分給出），而圓心處的答案正好是圓周值的平均。
橢圓型＝平衡：資料布在整圈邊界上，沒有時間方向，得到單一個非常平滑的解。
一個常見的誤解是，橢圓型方程因為看起來如此溫順所以最容易。溫順是真的，但這也正是禁止使用柯西資料的原因：橢圓型方程沒有可供推進的依賴域，因此初始值的提法是不適定的。