偏微分方程的判別式（discriminant）
你也許還記得中學裡，二次式 ax^2 + bx + c 是由數字 b^2 - 4ac 來分類的：正號表示兩個實根，零表示重根，負號表示無實根。二階偏微分方程的判別式就是同一個想法換了件衣服——一個由首項係數算出的數字，事先告訴你這方程住在三個天差地別的世界中的哪一個。遇到二階線性偏微分方程時，這是你第一個要算的量。
對方程 A u_xx + 2B u_xy + C u_yy +（低階項）= 0，判別式是 B^2 - AC，只由主部係數構成。（注意慣例：因為交叉項寫成 2B u_xy，自然的量是 B^2 - AC，而非 B^2 - 4AC。若有人把交叉項只寫成 B u_xy，他的判別式就變成 B^2 - 4AC。想法相同，帳目記法不同。）B^2 - AC 的正負號就是全部關鍵：B^2 - AC < 0 為橢圓型，B^2 - AC = 0 為拋物型，B^2 - AC > 0 為雙曲型。從幾何看，建立二次型 A p^2 + 2B p q + C q^2；它的等位集恰好在 B^2 - AC 為負、零、正時分別是橢圓、拋物線、雙曲線——三個型別的名字就是由此而來。
它為何值得如此尊重：一個數字的正負號就預言了什麼樣的邊界或初始資料是適定的、擾動是以有限還是無限速度傳播、解有多平滑、以及實的特徵曲線是否存在。但有兩點要誠實提醒。其一，當係數依賴 x 與 y 時，判別式可能逐區改變正負號，於是同一個方程可以在某處是橢圓型、在他處是雙曲型——那就是混合型方程，像特里科米方程。其二，在多於兩個自變數時，單一個數字不再夠用；你改以係數矩陣特徵值的正負號來分類。
波動：u_tt - u_xx = 0 得 A=-1、B=0、C=1，故 B^2 - AC = 0 - (-1)(1) = 1 > 0，雙曲型。拉普拉斯：u_xx + u_yy = 0 得 A=1、B=0、C=1，故 B^2 - AC = -1 < 0，橢圓型。熱：u_t - u_xx = 0 在二階導數中只有 u_xx，故 A=1（在 u_xx 上）、B=C=0，B^2 - AC = 0，拋物型。
每個方程一段短短的計算，就把三個模型各自歸入其型別——判別式真的是第一個要算的東西。
注意慣例：交叉項寫成 2B u_xy 時判別式為 B^2 - AC；寫成 B u_xy 時則為 B^2 - 4AC。兩種寫法下的分類（判別式的正負號）完全相同——只是公式裡中間係數的差別。