一般二階線性偏微分方程（general second-order linear PDE）

物理交給你的偏微分方程大多是二階的——熱的擴散、波的傳播、肥皂膜安頓成它的形狀——也就是說，出現的最高階導數是二階導數，例如 u_xx、u_xy 或 u_yy。若再要求方程是線性的（未知函數 u 及其導數只以一次方出現，彼此不相乘，也不被塞進 sin 之類的函數裡），你就得到一個涵蓋幾乎整個古典理論的宏大模板。本條目講的就是這個模板。

在兩個自變數 x 與 y 之下，一般二階線性偏微分方程為 A u_xx + 2B u_xy + C u_yy + D u_x + E u_y + F u + G = 0，其中係數 A、B、C、D、E、F 與項 G 可以依賴 x 與 y，但不依賴 u。前三項 A u_xx + 2B u_xy + C u_yy 是主部（principal part），即承載二階導數的最高階區塊；交叉項上的因子 2 是一個慣例，能讓底下的代數整齊些。其餘的 D u_x + E u_y + F u 是低階部分，G 則是源項（source，當 G 為零時方程為齊次）。整個方程的行為——你能加上什麼資料、效應傳得多快、解有多平滑——結果竟然只由三個主係數 A、B、C 決定。

為什麼要對這個確切形式如此講究？因為它正是整套分類理論所作用的對象。由主部構造出的組合 B^2 - AC（它的判別式）把每一個這樣的方程歸入三大家族之一——橢圓型、拋物型、雙曲型——而這一個標籤幾乎能預言之後的一切。不過要誠實交代範圍：這是線性、二階、兩變數的圖像。擬線性或完全非線性方程、一階方程、以及更高階方程都需要各自的討論；而在多於兩個變數時，分類是由二階係數矩陣讀出，而非單一個數字。