各型別的模型方程（model equations）
想像學認鳥類時，先背熟三個完美的標本——麻雀、鷹、貓頭鷹——這樣每隻新鳥都能依它最像哪一個來歸位。二階偏微分方程的理論也是這樣教的。有三個模型方程，每個型別一個，而你遇到的幾乎任何二階線性方程，都能（透過變數變換）化得在局部看起來像它們之一。掌握這三個，你就握有了整片疆域的地圖。
三個原型是：拉普拉斯方程 u_xx + u_yy = 0，橢圓型模型——平衡之方程，穩態溫度、肥皂膜、靜電位勢之方程。熱（擴散）方程 u_t = k u_xx，拋物型模型——不可逆之平滑與散播之方程。波動方程 u_tt = c^2 u_xx，雙曲型模型——以有限速度振動與傳播之方程。它們不是隨意的例子；分類定理說，任何橢圓、拋物或雙曲型方程的標準形（就最高階而言）就是拉普拉斯、熱或波動方程，所以研究這三個就是研究該型別的每一個方程。
每個模型都帶著一整套性格，由它的整個型別所繼承。拉普拉斯：封閉區域上的邊界資料、沒有時間、無窮平滑的解、平均值性質。熱：初始資料加邊界資料、無限傳播速度、瞬時平滑化、不可逆性。波動：初始位移與速度、有限速度、依賴域、不平滑化（奇異性會行進）。誠實的提醒是：低階項與變係數會添上裸模型未顯示的細節，而離開常係數時，方程甚至可能逐處改變型別——但這三個模型仍是不可或缺的心智錨點。
一句有用的口訣：拉普拉斯沒有時間變數（平衡），熱方程對時間是一階（向前擴散），波動方程對時間是二階（來回振盪）——時間導數上的這一個差別，本質上就是橢圓／拋物／雙曲之分所衡量的東西。
三個方程、三個型別、三種性情——而每個二階線性偏微分方程，化成標準形後，都是其中之一的親戚。
這些是二階的原型；本條目描繪各型別如何行為，但每個模型的詳細求解——傅立葉級數、達朗貝爾公式、帕松積分——屬於另外的熱、波動與拉普拉斯場域。