標準形（canonical form）
當一個雜亂的方程能透過巧妙的變數變換整理乾淨，直到看起來像少數幾個標準模板之一時，那個整理好的版本就是它的標準形。正如任何真正的橢圓都能被旋轉、拉伸到讀作 x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，任何給定型別的二階線性偏微分方程也能被變換，直到其主部與該型別的模型方程相符。標準形就是這方程在它最誠實的座標下所呈現的樣子。
做法是選取與特徵對齊的新變數。對雙曲型方程，令新座標 xi 與 eta 沿著兩個特徵族為常數；在那些座標下只有交叉導數存留，方程化約為標準形 u_{xi eta} +（低階項）= 0（或在轉 45 度後，化為波動形式 u_{ss} - u_{tt} + ... = 0）。對拋物型方程只有一個特徵族；把一個座標與它對齊會消掉三個主項中的兩個，留下類熱的標準形 u_{eta eta} +（低階項）= 0。對橢圓型方程，特徵是複的，所以取實部與虛部會產生類拉普拉斯的標準形 u_{xi xi} + u_{eta eta} +（低階項）= 0。三個型別，三個標準模板。
何必如此？因為一旦方程化為標準形，你就能套用你對相應模型已知的一切——對雙曲形式用達朗貝爾的方法、對拋物形式用熱方程的工具箱、對橢圓形式用調和函數理論。它是把整片二階線性方程之林化約為三棵樹的槓桿。誠實的限制是：當係數變動時，這個化約一般是局部的，而且它只觸及主部——低階項會被一併帶過來，仍可能讓實際求解變得複雜。
取 u_xx - u_yy = 0。它的特徵是 y - x = 常數 與 y + x = 常數，故令 xi = y - x、eta = y + x。代入並化簡後，方程變成標準雙曲形式 u_{xi eta} = 0，立即積分得 u = F(xi) + G(eta) = F(y - x) + G(y + x)——達朗貝爾的兩個行波，直接從標準形讀出。
把座標與特徵對齊，方程便塌縮成它的標準模板，解往往一望即得。
標準形只把主部（最高階部分）規範化；低階項會隨之變換而不被抹去，所以化到標準形是強大的簡化，但它本身很少就是最終答案。