達朗貝爾公式（d'Alembert's formula）
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對於整條無限直線上的波動方程，有一條單一的封閉公式能直接從初始資料寫出任何地點與時刻的確切解。沒有級數、沒有轉換——只有一個積分。它就是達朗貝爾公式，整個學科中最美的結果之一，它讓直線上的波變得完全透明。
在所有 x 上解 u_tt = c^2 u_xx，弦的起始形狀為 phi(x)（初始位移，t = 0 時的 u），初始速度為 psi(x)（t = 0 時的 u_t）。達朗貝爾公式說 u(x,t) = (1/2)[phi(x - ct) + phi(x + ct)] + (1/(2c)) 乘上 psi 從 x - ct 到 x + ct 的積分。把它讀成兩個效應相加。第一部分把起始形狀做成兩個減半的副本，一個往左、一個往右，各以速度 c 送出。第二部分是對初始一踢的回應：它把給予 x - ct 到 x + ct 之間那段弦的所有速度加總（積分）起來。公式背後的訣竅是換成特徵座標 xi = x - ct 與 eta = x + ct，在這座標下方程塌縮為 u_{xi,eta} = 0，其通解就是 F(xi) + G(eta)——一個左行者加一個右行者。
這條公式不只是計算上的禮物；它揭示了波的結構。你可以直接從它讀出依賴域（(x,t) 處的值只依賴 x - ct 到 x + ct 之間的資料）、有限傳播速度（那區間之外的資料還無法到達你），以及一個事實：初始形狀的凸起永遠保持尖銳，而初始速度則在它後面留下一塊永久的平台。沒有平滑化：phi 或 psi 原有的任何粗糙，解都繼承下來並帶著走。
讓弦從靜止開始（psi = 0），帶一個三角形凸起 phi。達朗貝爾公式給出 u = (1/2)[phi(x - ct) + phi(x + ct)]：三角形就分裂成兩個高度減半的三角形彼此漂離，各是完美的副本，永遠如此。換成給一條平直的弦一個局部的踢（phi = 0，psi 是一個凸起）：積分項留下一塊平坦的隆起平台，以速度 c 擴展。
初始形狀分裂成兩個副本；初始速度留下一塊擴展的平台。
達朗貝爾公式是針對整條直線的。若有邊界條件（固定端、半直線），你必須把它與鏡像法結合，或改用傅立葉級數——光禿的公式假設弦是無限長的。