依賴域（domain of dependence）

假設你想知道某個特定地點 x 在某個特定未來時刻 t 的波高。起始資料中哪一部分可能有影響？常識說：只有近到讓以速度 c 行進的信號來得及抵達的那一部分。能影響 (x,t) 的起始點的確切集合，就稱為它的依賴域。

對於一維波動方程，達朗貝爾公式把這件事說得精確，甚至有點令人意外。值 u(x,t) 只依賴 x - ct 到 x + ct 這個區間上的初始資料——其他什麼都不依賴。畫出點 (x,t)，往下拉兩條線到 t = 0，斜率對應速度 c；它們切出一個三角形，其底邊恰好是那個區間。底邊之外的資料就是還來不及抵達 (x,t)：一公里外開始的擾動，在 c = 343 公尺／秒下，約三秒內聽不到。這個區間是後向特徵錐的底。

這是有限傳播速度的具體面貌，也是不同方程類型之間最鮮明的對比之一。波動方程有一個緊湊、有限的依賴域，所以資訊是局部的。熱方程恰恰相反：它的依賴域是整條直線——任何 t > 0 時任何地方的溫度，都（無論多麼微弱地）依賴各處的初始資料，因為熱以無限速度擴散。知道依賴域也告訴數值分析師如何選擇穩定的時間步（CFL 條件）：數值格式的依賴域必須包含真正的依賴域。