波動方程
特徵錐(characteristic cone)
把空間與時間一起想成一張圖——一個時空。從任何一個事件(某時某地)出發,波以速度 c 向外散開,隨時間描出一個錐:起初是一個小圓,片刻後更大,再之後更大。那個在時空中掃出的擴張曲面,就是特徵錐。在相對論中,同一個物件,取 c 為光速,就稱為光錐。
在一維空間中,這個錐只是過該事件、斜率由 c 決定的兩條直線——特徵線 x - ct = const 與 x + ct = const。在三維空間中它是真正的錐:所有能由速度恰為 c 的信號從該事件抵達的時空點的集合。它有兩半。前向(未來)錐是影響域——這個事件能影響的一切。後向(過去)錐是依賴域——所有可能影響過這個事件的一切。錐面由波算子的特徵曲面構成,也就是信號實際沿之行進的曲面;這就是這些方向被稱為「特徵」的原因。
特徵錐是有限傳播速度的幾何陳述,也是雙曲理論的脊樑。沒有任何東西——沒有信號、沒有影響、沒有資訊——能逃出這個錐;錐外的世界目前在因果上是斷開的。這正是愛因斯坦的因果結構:沒有影響跑得比光快,所以彼此錐外的事件無法互相影響。熱方程根本沒有特徵錐(它的錐必須瞬間張開填滿全空間),這正是說它有無限傳播速度的幾何說法。
一張 c = 1 的弦的 x-t 圖:從事件 (x = 0, t = 0) 畫出兩條線 x = t 與 x = -t。原點上方介於它們之間的一切是未來錐(這一戳能波及的範圍);下方介於它們之間的一切是過去錐(可能造成原點狀態的範圍)。
未來錐 = 影響域;過去錐 = 依賴域。
特徵錐標出信號能抵達之處,而非總是抵達之處。在三維錐內部,波可能已經再度寂靜(惠更斯原理把作用放在錐面上);錐是可能影響的邊界,而非一個總是活躍的實心區域。
又称
另见