波動方程（wave equation）

撥動吉他弦、把石頭丟進池塘、對空氣說話、或打開一盞燈：每一種情況都是在某處製造了一個擾動，然後它以一個確定的速度向外傳播，並保持自己的形狀。波動方程就是描述所有這些現象的那一條簡潔方程。它是振動與傳播的母方程。

在一維空間中它寫成 u_tt = c^2 u_xx。這裡 u(x,t) 是正在波動的量——弦的橫向位移、空氣中的壓力、電場的某個分量——而下標是偏導數：u_tt 是時間上的加速度，u_xx 是空間上的曲率。方程說加速度與曲率成正比，比例常數為 c^2。從物理上讀（想像一條弦）：弦彎得越急（曲率越大），張力把它拉回的力就越強，所以加速度越大。在更高維度，u_xx 換成拉普拉斯算子，得到 u_tt = c^2 (Laplacian u)——同樣是加速度對抗曲率的平衡，只是現在在空間中。

它是雙曲型方程的原型，幾乎所有波的特殊性質都源自這一行：信號以有限速度 c 傳播（沒有瞬時效應），它們保持形狀而非抹平（沒有平滑化——尖角依然尖銳並隨之傳播），而且能量守恆。這正好與熱方程 u_t = k u_xx 相反，後者瞬間抹平一切並遺忘過去。注意波動方程在時間上是二階的（含 u_tt），所以要啟動它你必須同時給定初始形狀與初始速度——只有一個量是不夠的，就像拋一顆球需要同時知道它的位置與速度。