依型別而定的適定性（type-dependent well-posedness）

把對的鑰匙交給對的鎖，門便俐落開啟；硬塞錯的鑰匙，你就卡死了機構。你附加在偏微分方程上的旁條件也是如此。每一型別的方程都有它所要的某種資料——而把錯的資料配上錯的型別，不只是讓問題變難，而是讓它變得不適定：無解，或一個會因資料最微小的改變而爆炸的無用的解。適定性是依型別而定的，而把這個配對弄對，就是理解一個偏微分方程的一半。

配對如下。雙曲型方程（波）要的是柯西／初始值問題：在初始時刻於整個空間指定函數及其時間導數，然後向前推進。拋物型方程（擴散）要的是時間上的初始資料加上空間上的邊界資料，且只向前推進（絕不向後）。橢圓型方程（平衡）要的是封閉區域整個邊界上的邊界資料——狄利克雷或諾伊曼問題——並沒有可供推進的時間。哈達瑪的三項要求定義了適定：解必須存在、唯一、且連續依賴於資料。型別正是告訴你哪種資料能交出這三者的東西。

那些警世故事讓這一點難以忘懷，因為錯誤的配對確實是災難性的。把柯西資料加在拉普拉斯方程上（一個被給予初始值資料的橢圓型方程）是哈達瑪的經典不適定例子：對該資料解是存在的，但資料中趨於零的微小改變會產生任意大的解的改變，所以連續依賴徹底失敗。逆熱方程（把擴散倒著跑）同樣不適定——你無法穩定地從一個被平滑的現在重建尖銳的過去。這些不是背了就忘的病態；它們正是分類為何重要的原因。型別不是裝飾——它是那條告訴你哪些問題有答案的法則。