適定問題（well-posed problem）

當你建立一個 PDE 來模擬某個真實事物時——棒中的熱、振動的弦、肥皂膜的形狀——你其實默默地盼望三件事。你盼望根本上存在一個答案。你盼望答案只有一個，使模型給出確定的預測。你也盼望若起始資料量錯了一點點，答案只偏差一點點，而不是天差地別——因為每一次真實量測都有誤差。雅克·哈達瑪把這份盼望變成一張清單，而一個通過全部三項檢查的問題就稱為適定的：它是一個值得問的問題，因為大自然真能回答它。

精確地說，哈達瑪的三個條件是：存在性——對給定資料存在一個解；唯一性——恰好只有一個這樣的解；以及穩定性，亦即對資料的連續依賴——解隨資料連續地變化，故初始或邊界資料的微小改變只造成答案的微小改變。三者都重要。沒有存在性，模型是空的；沒有唯一性，它不作任何確定的預測；沒有穩定性，它在實踐中無用，因為真實資料中無可避免的微小誤差會被放大成答案中的巨大誤差。同時證明唯一性與穩定性的標準工具是能量估計：把方程乘以 u，在定義域上積分，再用分部積分把解的某個正的「能量」用資料界定——若資料為零則能量為零，故解為零，這給出唯一性，而同一個界也給出穩定性。

適定性是整個學科的組織性問題，而非腳註。橢圓型／拋物型／雙曲型的分類之所以是根本性而非裝飾性的，恰恰因為它決定了哪種資料使問題適定：雙曲型與拋物型方程要柯西／初始資料，橢圓型方程要邊界資料。給錯了資料的種類——給橢圓型的拉普拉斯方程柯西資料、或讓熱方程倒著時間跑——同一個方程就變得不適定，其解要麼無法存在、要麼在最輕微的擾動下爆炸。適定與不適定是同一個觀念的兩半。