不適定問題（ill-posed problem）

有些看似完全無害的 PDE 問題其實是陷阱。它們看起來應該有答案，卻違反了哈達瑪三項要求之一——而最危險的違反是失去穩定性，亦即資料中一個微觀的誤差變成答案中一個災難性的誤差。不適定問題正是如此：一個缺乏存在性、或唯一性、或（最常見且最陰險地）對資料的連續依賴的問題。由於真實資料總帶有微小誤差，一個不穩定的問題不只是不方便——就其陳述而言，它在數值上與物理上都是無意義的。

哈達瑪自己的例子把這種違反呈現得淋漓盡致。取拉普拉斯方程 u_xx + u_yy = 0——一個橢圓型方程——試圖把它當作從直線 y = 0 上的柯西資料出發的演化：u(x, 0) = 0 與 u_y(x, 0) = (1/n) sin(n x)。這資料微小：當 n 增大時它一致地縮向零。但方程強制給出的解是 u(x, y) = (1/n^2) sin(n x) sinh(n y)，而 sinh(n y) 像 e^(n y) 那樣增長。對任何固定高度 y > 0，這個解隨 n 增大而爆炸性地發散，儘管它的資料正在消失。一個消失的資料改變產生一個無界的答案改變——穩定性被摧毀，故拉普拉斯方程的柯西問題是不適定的。倒向熱方程是另一個教科書案例：讓擴散倒著跑、試圖從平滑的現在恢復尖銳的過去，會把每一個高頻擺動放大 e^(+ k n^2 t)，無可救藥地不穩定。

其教訓不是這些方程有缺陷——拉普拉斯方程配上邊界資料是優美地適定的，熱方程往前跑也是適定的。教訓是：方程的型別決定了資料；要橢圓型方程去演化、或要擴散倒著跑，你就問錯了問題。不適定問題確實出現在現實中——影像去模糊、逆散射、由遠處量測重建一個源——人們並不放棄它們，而是把它們正則化：加入額外假設或懲罰項以恢復穩定性，從一個不穩定的問題中拉出一個合理的近似答案。