逆向熱方程（backward heat equation）

假設你拍下一張模糊的影像，並問：什麼樣的清晰圖片，經過已知量的模糊後，會恰好產生這張？或你測量一個物體現在的溫度，問它一小時前是多少。兩者都是在要求把擴散倒著跑。逆向熱方程就是時間反演的熱方程，它是 PDE 理論的警世故事——一個看起來漂亮、定義良好，實際上卻不適定的問題。

把 u_t = k u_xx 中的時間 t -> -t 反演，會變成 u_t = -k u_xx，等價於在普通向前擴散下，從較晚的資料反求較早的資料。麻煩在傅立葉模態裡精確而顯眼。向前時間時，模態 sin(n x) 以 e^(-k n^2 t) 衰減；要往後走，你必須乘以 e^(+k n^2 t)，它隨 n 爆炸式成長。所以你較晚資料中一個察覺不到的微小高頻波折——即使是 10^(-10) 量級的純測量雜訊——也會被天文般的因子放大，淹沒答案。解不連續依賴於資料：輸入任意微小的變化會產生輸出任意大的變化。按哈達瑪的定義，那正是不適定的意思。

這最尖銳地說明了適定性取決於問題的方向與型，而不只是公式是否存在。向前熱方程是適定拋物型問題的範本；把時鐘倒轉，同一個方程就變得病態。它不只是難——再多巧思也無法讓它穩定。實務上，那些暗地裡是逆向擴散的問題（去模糊、熱回溯、源項辨識），只能靠正則化處理：你用一個鄰近的適定問題取代精確的逆向問題，加入假設（平滑度界、Tikhonov 懲罰項）來馴服爆炸的高頻。提醒：這並沒有「解出」逆向方程；它回答的是一個刻意修改、穩定化過的問題。