擴散的不可逆性（irreversibility of diffusion）

把一滴奶油攪進咖啡，它會混成均勻的淺褐色。不管你等多久，你永遠看不到淺褐色的咖啡自發地「反混合」回一滴銳利的奶油。擴散內建一個時間之箭：它只往一個方向跑。擴散的不可逆性就是這個日常確定性的數學表述。

在數學上，熱方程 u_t = k u_xx 在時間反演下不對稱。若把 t 換成 -t，得到 u_t = -k u_xx，也就是逆向熱方程，那是一個完全不同且不適定的問題。向前時間時，每個傅立葉模態以 e^(-k n^2 t) 衰減，所以細節穩定地被摧毀，許多不同的粗糙過去都流向相似的平滑未來——從過去到未來的映射丟失資訊。想反推它，就意味著要以 e^(+k n^2 t) 放大丟失的高頻細節，這會失控爆炸：現在的一個微觀變化會對應到推得過去的劇烈變化。這就是為什麼你一般無法從之後的測量還原初始溫度，儘管向前問題是完全決定論的。

這種不可逆性與平滑效應是同一個數學事實，只是從另一端看，而它有個熱力學表親：擴散增加熵、朝平衡演化，符合第二定律。它在反問題的實務上很重要——去模糊、熱成像、從之後的資料還原源項，全都是不適定的，因為它們是逆向擴散，只能靠正則化（加入額外假設）來馴服。提醒：這裡的不可逆性是巨觀方程的性質，不是底層微觀動力學的性質，後者是時間可逆的；箭頭是從許多粒子的粗粒化中統計地湧現出來的。