柯西資料（Cauchy data）
/ Cauchy -> koh-SHEE /
當你拋出一顆球時，起始要指定兩件事：它在哪裡、跑多快。柯西資料正是 PDE 版本的這件事——你在一張曲面上鋪設的全套起始資訊，使一個高階方程有確定的演化。它以奧古斯丁-路易·柯西命名，他提出了「在一個切片上給出函數及其導數，再往外推進」這一般問題。對演化方程而言，切片就是直線 t = 0；更一般地，它可以是定義域中的任意曲線或曲面。
精確地說：對於 m 階方程，曲面 S 上的柯西資料是未知函數 u 連同它在 S 上直到 m - 1 階的法向導數。對二階方程而言，這意味著 u 及其一階法向導數——對波動方程 u_tt = c^2 u_xx 來說，就是 u(x, 0) = f(x) 與 u_t(x, 0) = g(x)，亦即位移與速度。「柯西問題」一詞的意思是：在一個初始曲面上給定柯西資料、且沒有其他牆或邊界，求解這個 PDE——一個從資料切片往外推演的演化，而不是被關在盒子裡。
有一個關鍵的陷阱，把柯西資料和單純的邊界資料區別開來：曲面必須是非特徵的。如果你鋪設資料的曲面恰好是方程的一條特徵線，資料與方程便會衝突、或無法決定下一層，你就無法往前推進。而方程的型別決定了柯西問題是否合理：對雙曲型與拋物型方程，給定柯西資料是恰當的；但對橢圓型方程（如拉普拉斯方程）則是著名的不適定——這正是哈達瑪的警告：同樣的措辭，可能適定，也可能災難性地崩潰，全看方程而定。
對波動方程 u_tt = c^2 u_xx，直線 t = 0 上的柯西資料是一對：u(x, 0) = f(x)（弦在哪裡）與 u_t(x, 0) = g(x)（每一點跑多快）。達朗貝爾公式隨後直接由這一對寫出唯一解，形式為一個右行波加一個左行波，再加上 g 的一個積分。
二階方程的柯西資料 = 曲面上的函數值加上其一階法向導數。
柯西資料並非自動適定：把它鋪在特徵曲面上、或用於橢圓型方程，可能使問題無解或極度不穩定——曲面必須是非特徵的，且方程必須是恰當的型別。