柯西-柯瓦列夫斯卡婭定理（Cauchy-Kovalevskaya theorem）
/ Kovalevskaya -> koh-vah-LYEV-ska-ya; Cauchy -> koh-SHEE /
這是古典 PDE 理論中最一般的「解存在」陳述，而它的精神令人安心地簡單。若眼前的一切都是解析的——方程、它的係數、以及你規定的資料都能寫成收斂的冪級數——那麼柯西問題就有一個解，至少在你鋪設資料的曲面的一個小鄰域內。它是局部存在定理，支撐著「給定柯西資料是合理之舉」這整個想法。此定理以奧古斯丁-路易·柯西與索菲婭·柯瓦列夫斯卡婭命名，後者給出了第一個嚴格且一般的證明。
其機制是冪級數，而且幾乎是機械式的。假設你能把方程寫成使最高的時間導數被孤立、u 以較低的導數表出，而資料曲面是非特徵的——意指方程確實讓你能由資料算出那個最高導數。那麼柯西資料給你曲面上的 u 及其較低的法向導數；方程給你下一個法向導數；對方程微分給你再下一個；如此繼續，於是你能讀出 u 在曲面某點的每一個泰勒係數。定理真正的內容在於：當一切都解析時，這個形式上產生的冪級數確實在一個鄰域內收斂，給出一個真正的解析解。非特徵條件是不可或缺的——在特徵曲面上最高導數無法被解出，這個構造便卡住。
儘管強大，這定理帶有兩個誠實的限制，而它們對整個學科都是核心。第一，它要求解析性——一個極其強的假設，排除了大多數現實的資料（一個帶尖角的溫度分布不是解析的），故它遠非存在性的定論。第二，更引人注目的是，存在性不等於適定性：哈達瑪的例子顯示，對解析資料，拉普拉斯方程的柯西問題依柯西-柯瓦列夫斯卡婭定理有一個解，然而那個解對資料的依賴是不連續的，因此不適定。定理保證局部解存在；它對問題是否穩定隻字未提，而對橢圓型方程，它並不穩定。
對波動方程 u_tt = c^2 u_xx，在非特徵的直線 t=0 上給定解析柯西資料 u(x,0)=f(x)、u_t(x,0)=g(x)，方程直接由 f'' 給出 t=0 處的 u_tt；微分給出所有更高階的 t 導數，且 t 的泰勒級數收斂——局部存在一個解析解。但把同一台機器用在 Laplacian u = 0：解仍存在，卻不穩定（哈達瑪），這顯示僅有存在性並不夠。
柯西-柯瓦列夫斯卡婭 = 在非特徵曲面上對解析資料的局部存在性；它不保證穩定性。
此定理證明的是存在性，從不是適定性：它的結論對如拉普拉斯這類柯西問題不適定的橢圓型方程仍成立，所以一個柯西-柯瓦列夫斯卡婭解仍可能對資料不連續依賴。存在性與穩定性是兩個分開的問題。