古典解
「求解」一條 PDE 究竟是什麼意思？最直接的答案——你一開始接觸的那個——是古典解：一個誠實的、尋常的函數 u，可微的程度足以擁有方程提到的所有導數，且代入後使方程在每一點都字面為真。若方程是 u_t = k u_xx，古典解就是一個其 u_t 與 u_xx 都確實以尋常導數存在、並在你關心的區域中處處滿足該等式的函數。
具體地說，「足夠可微」意指：二階方程需要一個具連續二階導數的解（如此方程中的最高階導數才真正有意義且連續），通常寫作「u 屬於 C^2」。你接著把 u 及其導數代入方程，逐點檢查它成立，再檢查 u 符合邊界與初始條件。這裡沒有任何滑溜之處——這是課本上的解的概念，只要求函數夠平滑且逐點遵守規則。舉個驗證的例子：u(x, t) = e^(-k t) sin(x) 有 u_t = -k e^(-k t) sin(x) 與 u_xx = -e^(-k t) sin(x)，確實 u_t = k u_xx，所以它是熱方程的古典解。
麻煩之處——而且是個大麻煩——在於即使對看似合理的問題，古典解有時並不存在。流體中的震波發展出不連續，所以沒有任何可微函數能跨越震波滿足方程；由帶尖角的初始形狀建造的解，可能在某處有折拐使二階導數爆破；帶角的資料產生帶角的解。這正是為何本學科稍後引入弱解、分布解與黏性解——更廣的「解」概念，允許不平滑的函數卻仍掌握正確的物理。能得到古典解時，它是黃金標準；但現代 PDE 理論大半之所以存在，恰恰是因為你常常得不到它。
驗證 u(x, t) = e^(-k t) sin(x) 滿足熱方程 u_t = k u_xx：u_t = -k e^(-k t) sin(x)，u_xx = -e^(-k t) sin(x)，故 k u_xx = -k e^(-k t) sin(x) = u_t。它是 C^infinity（光滑），因此是古典解。
代入、求導、確認等式在每一點都成立——這就是「古典解」所要求的。
一個函數可以幾乎處處滿足一條 PDE，卻因在少數壞點（震波前緣、角點）缺少所需導數而不是古典解。古典解的存在是一個有待證明的真定理，並非理所當然——而對許多重要的非線性方程，它在有限時間後可被證明失效。