帕松方程（Poisson's equation）
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拉普拉斯方程描述空無一物的空間中的平衡；帕松方程描述當有源在餵養此場時的平衡。把電荷放入某區域，靜電位勢就不再是調和的——它會因應電荷而彎曲。帕松方程精確地說出如何彎：位勢在每一點的不平衡量，由該處有多少源來決定。它就是把右端打開了的拉普拉斯方程。
寫出來就是 Laplacian u = f，其中 f 是給定的源項（一個已知的位置函數）——例如平面中的 u_xx + u_yy = f(x, y)。在 f = 0 之處方程退化為拉普拉斯方程，故 f 恰好是與調和平衡的局部偏離。在靜電學中它寫成 Laplacian u = -rho/epsilon_0，rho 為電荷密度；在重力中為 Laplacian u = 4 pi G rho，rho 為質量密度。通解為任一個特解（f 與基本解的卷積）加上任一個調和函數——而這個自由的調和部分由邊界條件確定。
帕松方程是位勢論以及一般平衡建模的主力：含內部加熱的穩態熱、受載彈性膜的撓曲、不可壓縮流中的壓力、行星的重力場。在一個區域上以指定邊界值求解它，就是帕松方程的狄利克雷問題；在簡單區域上用格林函數求解，而在數值上它是有限差分法與有限元素法的典型測試問題。
一個均勻帶電的球產生的位勢在內部（有電荷處）滿足 Laplacian u = 常數、在外部（空無一物）滿足 Laplacian u = 0。分別求解兩段並在表面接合，就得到熟悉的場：內部曲率恆定，外部則像 1/r 那樣衰減。
有源即帕松、無源即拉普拉斯——同一個場在不同區域分別服從兩者。
特解並不唯一：你可以加上任一個調和函數而仍滿足 Laplacian u = f。唯一性只有在加上邊界條件之後才出現。正負號慣例（Laplacian u = f 或 Laplacian u = -f）因教科書與物理脈絡而異——務必查清楚。