格林函數（Green's function）
/ greenz /
假設你要解一個被牆圍住的區域內部的問題——房間裡的熱、盒子裡的電壓、邊緣被夾住的薄膜——由某個源驅動。格林函數就是萬能鑰匙：它是區域內部對「放在某個內點的單位點源」的回應，而且算的時候就已經把牆考慮進去了。一旦你知道區域對每一個點的戳如何回應，你就知道它對任何源的回應，只要把這些戳加起來。
格林函數 G(x, y) 以喬治·格林（George Green）命名，它解帶有位於 y 的點源的算子方程，並滿足牆上的邊界條件。對拉普拉斯算子配狄利克雷條件，G(x, y) 在區域內滿足 -Laplacian_x G = delta(x - y)，並在邊界上 G = 0。它拆成兩塊：G(x, y) = E(x - y) + h(x, y)，其中 E 是攜帶奇異性的自由空間基本解，h 是一個平滑的邊界修正項（一個齊次解，內部 L h = 0），選它是為了讓兩者之和在邊界上消失（或具有正確的法向導數）。於是配那個邊界條件的 L u = f 的解是 u(x) = integral of G(x, y) f(y) dy，可能再加上引入指定邊界資料的邊界項。
格林函數讓你能把解明確寫出，而且揭示結構：對稱性 G(x, y) = G(y, x)（互易性）是一個深刻的物理陳述——源點與觀測點可以互換；G 的特徵函數展開把它連到算子的譜；鏡像法在簡單幾何中把 G 建出來。兩個誠實的限制：明確的格林函數通常只在特殊、對稱的定義域（半空間、圓盤、球）才有——對一般的不規則區域，你知道它存在卻寫不出閉式；而整套構造都依賴問題是線性的。
在單位圓盤上，拉普拉斯算子的狄利克雷格林函數是 G(x, y) = -(1/(2 pi))[ log|x - y| - log( |y| |x - y*| ) ]，其中 y* = y/|y|^2 是 y 對圓周反射後的鏡像。那個鏡像項就是讓 G 在圓周上為零的邊界修正項。
自由空間的對數，加上一個在邊界上把它抵消的鏡像項。
明確的格林函數通常只有在特殊的對稱定義域才求得出；對一般區域它存在卻通常無法寫成閉式，而且它專屬於某一個算子「和」某一個邊界條件。