表示公式（representation formula）

在所有的機械裝置之後，回報來了：一個公式直接交給你解在任意內點的值，由內部的源與邊界上的資料組成。表示公式就是這句話——「這裡的答案等於格林函數對源的積分，加上一個引入邊界資料的邊界項。」這就是整個點源計畫所瞄準的明確解。

對狄利克雷問題 -Laplacian u = f 於某區域、邊界上指定 u = g，表示公式寫成 u(x) = integral over region of G(x, y) f(y) dy - integral over boundary of g(y) (dG/dn_y)(x, y) dS(y)。分兩塊讀。第一項把源 f 透過格林函數 G 散開——那就是點源回應對實際源的積分。第二項是邊界貢獻：指定的邊界值 g 由格林函數的法向導數往內傳，而對拉普拉斯方程，這法向導數正是帕松核（Poisson kernel）。推導就是格林第三恆等式：用格林第二恆等式配 v = G 把 u 寫出，含未知 du/dn 的邊界項恰好消失，正因為 G 被建構成在邊界上為零。諾伊曼問題有對偶版本，用法向導數為零的格林函數。

為何這是目標：它把邊界值問題化為純粹的積分，把內部源的效果與邊界資料的效果乾淨地分開，並揭示答案的結構（哪些邊界值最重要、影響如何隨距離衰減）。在圓盤上它特化為帕松積分公式。誠實的限制依舊：你需要明確的格林函數 G，這把乾淨的公式限制在特殊定義域；對一般區域，公式為真且觀念上核心，但不是一條閉式食譜。