格林恆等式（Green's identities）
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分部積分是把導數從一個因子移到另一個因子、並留下一個邊界項的技巧。格林恆等式就是拉普拉斯算子的分部積分：它讓你在一個區域上把二階導數在兩個函數之間互換，代價是付出邊界上的積分。它們是位勢論裡幾乎一切的代數引擎——唯一性證明、能量估計，以及表示公式，全都靠它們運轉。
共有三個，威力遞增。格林第一恆等式是 integral over region of (u Laplacian v) = - integral of (grad u . grad v) + integral over boundary of (u dv/dn)：一次分部積分，其中 dv/dn 是向外的法向導數。格林第二恆等式是反對稱的組合 integral over region of (u Laplacian v - v Laplacian u) = integral over boundary of (u dv/dn - v du/dn)：把第一恆等式用兩次再相減，grad-grad 項相消。格林第三恆等式是把第二個裡的 v 取為基本解 E(x - y)；藏在 Laplacian E 裡的 delta 把值 u(x) 挑出來，給出一個公式，用 u 的源 Laplacian u 以及它的邊界值與邊界法向導數，把區域內部的 u 寫出來。那個第三恆等式就是表示公式的化身。
為何不可或缺：第一恆等式取 u = v，給出 integral of (u Laplacian u) = -integral of |grad u|^2 + 邊界項，這是能量法與狄利克雷原理的基礎。第二恆等式配上兩個格林函數的邊界條件，給出互易性。第三恆等式把解表為邊界積分，是邊界積分方程方法的起點。一個提醒：這些恆等式假設足夠的光滑性，好讓積分與散度定理有意義（合理的邊界、直到邊界都有連續二階導數的函數）；E 在源點的奇異性必須以挖去一個小球並取極限的方式處理。
格林第一恆等式取 u = v 且 Laplacian u = 0（u 調和），給出 integral of |grad u|^2 = integral over boundary of (u du/dn)。若 u 在邊界上為 0，右邊消失，故 grad u 處處為零、u 為常數——這是狄利克雷問題唯一性的一行證明。
分部積分把唯一性問題化為一行。
這些恆等式不過是分部積分（散度定理），需要足夠的光滑性；第三恆等式用到奇異的基本解，所以要靠挖去源點周圍的小球、再讓其半徑縮到零來導出。