邊界修正項（boundary corrector）

先從對點源的自由空間回應出發——也就是基本解。它在內部正確地解方程，但它對你區域的牆一無所知，所以在邊界上它的值是錯的。邊界修正項就是補丁：一個平滑、無源的場，你把它疊加上去，使整體恰好滿足邊界條件，又不擾動內部的點源。

把格林函數寫成 G(x, y) = E(x - y) + h(x, y)。這裡 E 是基本解，它本身已給出 L E = delta（點源）並攜帶所有奇異性。修正項 h(x, y) 被要求在內部是齊次解，L h = 0（對拉普拉斯算子，h 是調和的），這樣加上它就不會破壞 L G = delta。它的工作純粹在邊界上：選它使得在牆上，對狄利克雷條件有 h(x, y) = -E(x - y)（讓 G = 0），或對諾伊曼條件讓法向導數適當地抵消。所以修正項本身就是一個邊界值問題的解——一個齊次方程，邊界資料等於基本解邊界跡的負值。找出 h 就是建構格林函數的全部困難所在。

有兩點值得強調。修正項在基本解奇異的地方反而是平滑的：所有的發散都住在源點處的 E 裡，h 在那裡行為良好，這正是為什麼 h 又叫格林函數的正則部分。而鏡像法不過是把 h 寫出來的一個巧法：你不去解修正項的邊界值問題，而是在區域外放置虛構的鏡像源，讓它們合起來的自由空間場恰好在內部等於 h——但這個技巧只在對稱到足以容納鏡像的幾何裡才管用。