基本解（fundamental solution）
想像你想知道整片池塘對「在某一點丟下一顆小石子」會如何回應。如果你精確知道單顆石子激起的漣漪，那麼對任意一堆石子，只要把各自的漣漪加起來，就能預測水面。基本解就是線性微分算子的「單顆石子答案」：算子對一個無限集中的點源的回應。一旦握有它，把它的平移副本相加（積分）起來，就能組出對任意源的回應。
精確地說，對一個線性常係數算子 L（想想拉普拉斯算子、熱算子 u_t - k u_xx，或波動算子 u_tt - c^2 u_xx），基本解 E 是一個滿足 L E = delta 的分布，其中 delta 是狄拉克 δ——強度為一的理想化點源。因為 L 是常係數，放在點 y 的源所對應的答案就只是 E 平移到 y，即 E(x - y)。疊加原理於是說：對一般源 f 而言，L u = f 的解是 u(x) = integral of E(x - y) f(y) dy，這是一個卷積——把點回應沿著源塗抹開來。三維拉普拉斯算子的基本解是牛頓位勢 -1/(4 pi |x|)；二維是對數位勢；熱算子的是熱核；波動算子的是延遲基本解。
兩個誠實的提醒。第一，delta 不是普通函數而是分布，所以 L E = delta 只在分布意義下成立，而 E 本身通常在源點處奇異（在那裡發散）。第二，基本解並不唯一：你可以加上任一齊次方程 L v = 0 的解，仍有 L(E + v) = delta。要選哪一個取決於附加條件——在無窮遠處的衰減，或時間上的因果性（延遲與超前之選）。基本解活在沒有邊界的自由空間；一旦出現邊界，就要把它修正成格林函數。
在三維，取 L = -Laplacian，則 E(x) = 1/(4 pi |x|)。於是 -Laplacian u = f 的解是 u(x) = integral of f(y)/(4 pi |x - y|) dy——這正是質量／電荷密度 f 所產生的牛頓重力／電位勢。
把點源回應與源做卷積，就得到完整的場。
基本解是自由空間的物件，且不唯一——必須用衰減或因果性條件把它定下來；別把它與邊界值問題的格林函數混為一談，後者還額外滿足一個邊界條件。