熱核（heat kernel）

想像把你所有的熱在某一瞬間集中到單一一點——原點上一個無限尖的溫度尖峰——然後看它散開。你會看到一個隆起，一開始高得不可思議又極細，逐漸融化成一條又寬又矮的鐘形曲線。這條散開的鐘形就是熱核：熱方程對單一點熱源的回應。

在整條直線上，熱核是高斯函數 G(x,t) = (1 / sqrt(4 pi k t)) e^(-x^2 / (4 k t))，其中 t > 0。它是基本解：它解 u_t = k u_xx，初始資料等於原點處的狄拉克 delta（delta 不是普通函數而是分布——一個寬度為零的理想化單位尖峰）。兩個特徵內建其中：它的寬度隨 sqrt(4 k t) 成長，正是擴散散開的標誌；而它的面積對所有時間恰為 1，編碼了總熱量守恆。神奇之處在於它讓你能做什麼：要解任意初始溫度 f 的柯西問題，把 f 與熱核卷積，u(x,t) = integral of G(x - y, t) f(y) dy。換句話說，x 處的溫度是所有初始溫度的加權平均，鄰近的點權重最大、遠處的點以高斯尾巴加權。

熱核是分析學中最重要的物件之一。因為高斯對任何 t > 0 都無限平滑且處處嚴格為正，卷積會瞬間平滑任何粗糙的 f（平滑效應），也瞬間感受到每一點（無限傳播速度——高斯尾巴極小卻從不剛好為零）。同一個物件又以布朗運動的轉移密度身分出現，位於機率論的核心。提醒：上面的公式是針對無界直線；在有限區間或有邊界時，核會不同（由特徵函數或鏡像法構造），但扮演相同角色。