共軛調和函數（harmonic conjugate）
在平面上，位勢論與複分析之間有一座隱藏的橋，而共軛調和函數就是你走過去所踩的木板。給定一個調和函數——比如一個靜電位勢——存在一個夥伴調和函數，其等位線恰好與前者的垂直，描出場線。把兩者配對，你就得到單一個複解析函數。所以每個平面調和函數其實都是某解析函數的實部，其共軛則為虛部。
精確地說，若 u 在一個（單連通）平面區域上調和，則共軛調和函數 v 是使 u 與 v 一起滿足柯西-黎曼方程的函數：u_x = v_y 且 u_y = -v_x。那麼組合 f = u + i v 是 z = x + i y 的複解析（全純）函數，且 v 也自動調和。你藉積分構造 v：由柯西-黎曼方程你以 u 的導數知道了 v 的兩個偏導數，於是把它們積分起來（相容性之所以有保證，正因為 u 調和）。u 與 v 的等位線構成一個正交網格——在物理中，u 是位勢、v 是流函數，v 沿流線為常數。
這個聯繫正是平面位勢問題能動用複分析全副武器的原因：共形映射把一個困難的區域搬到一個簡單的（圓盤或半平面）而保持調和性，於是你在簡單區域上解狄利克雷問題再映射回去。它驅動二維流體流動（複位勢）、靜電學、與熱傳導。誠實的限制：這是二維所特有——三維中沒有類似的單一複伴隨——且在有洞的區域（非單連通）上，共軛可能無法單值，每繞洞一圈就增加一個週期，正如位勢 log r 以多值的角度 theta 為其共軛。
調和函數 u = x 的共軛為 v = y，因 u_x = 1 = v_y 且 u_y = 0 = -v_x，而確實 u + i v = x + i y = z 是解析的。更有意思地，u = x^2 - y^2 的共軛為 v = 2 x y，且 u + i v = z^2——正交的等位線 x^2 - y^2 = 常數 與 2 x y = 常數，恰好是一個角落流動的流線與等位線。
把一個調和函數與其共軛配對，你就有了 z 的一個解析函數。
兩點誠實的告誡：共軛調和是二維現象（三維中沒有單一的解析伴隨），且在有洞的區域上它可能多值——log r 的共軛是角度 theta，每繞一圈跳躍 2 pi。共軛也只確定到差一個可加常數。