調和函數的最大值原理（maximum principle for harmonic functions）

調和函數在其區域內部不可能有山峰或山谷——它的極值只能出現在邊界上。想想鐵絲圈上的肥皂膜：它從不在中間鼓出一個高點或凹下一個低點，因為任何這種隆起都能藉由攤平而鬆弛。膜的最高點與最低點永遠在邊緣上。這就是最大值（與最小值）原理，是整個偏微分方程理論中最強大的工具之一。

精確地說，弱最大值原理說：若 u 在一有界區域上調和且直到邊界連續，則 u 在閉區域上的最大與最小值都在邊界上達到。它由平均值性質一行導出——若某內部點等於最大值，它就等於其球面平均，而這除非附近每個值也都等於最大值否則不可能，於是迫使 u 為常數。強最大值原理把這鋒利化：若 u 在哪怕一個內部點達到內部最大，則 u 在整個連通區域上為常數。一旦進到內部，就無法在不處處貼平於天花板的情況下碰到天花板。

回報是狄利克雷問題的唯一性與穩定性，幾乎是免費的。若兩個調和函數有相同的邊界值，它們的差調和且邊界值為零，故其最大與最小值皆為零——差恆等於零、解唯一。穩定性同理：若兩組邊界資料處處至多相差 epsilon，則兩解在內部處處至多相差 epsilon，故解連續依賴於資料。這一個原理是橢圓型方程適定性的支柱，其各種版本也適用於熱方程乃至遠超於此。