強最大值原理（strong maximum principle）

弱形式說調和函數的最高值落在邊界某處。強形式走得更遠，說：它「只」落在邊界。若一個調和溫度竟在某個單一內部點觸及它的最大值，唯一可能的情形是這個溫度處處等於同一個平的值。調和函數的中間不可能有一個孤立的熱點——內部一旦出現尖峰，整個函數就被迫成為常數。

精確地說：設 u 在一個連通開區域上滿足 Laplacian u >= 0（次調和）。若 u 在某個內部點達到其最大值，則 u 在整個區域上是常數。直覺來自平均值性質：調和函數在任一點等於它在一個微小周圍球面上各值的平均。若中心是嚴格最大值，球面上的平均就必須嚴格小於中心值——與相等矛盾。因此嚴格的內部最大值不可能；唯一的出路是周圍的值全都等於那個尖峰值，再由連通性把這份相等鋪滿整個區域。同樣的敘述對一般均勻橢圓方程的解都成立，不只是拉普拉斯算子。

這種剛性是橢圓型唯一性與比較論證的脊梁：它說解不可能藏有內部極值，於是它的整體行為都由邊界掌控。配上霍普夫邊界點引理（它掌控最大值在邊界達到處的導數），就給出諾伊曼與羅賓問題唯一性的標準路徑，以及透過移動平面法得到的對稱性結果。誠實提醒：它需要連通性與橢圓（或拋物）算子；對一般 PDE、或在不連通的區域上，內部最大值完全可以出現而不迫使解成為常數。