移動平面法（moving-plane method）

假設一個問題完全是圓的——一個球形的區域，資料也不在乎方向。你會預期解也是圓的，只依賴到中心的距離。但「預期」不是「證明」。移動平面法是一個漂亮的技巧，它「證明」這類解是徑向對稱的，靠的只是最大值原理與一個巧妙的反射。它是把「問題的對稱」轉成「解的對稱」的標準工具。

以下是這個點子的平白步驟。挑一個方向，以及一個遠在區域一側的平面。把那一側的解越過平面反射過來。現在把平面往內滑，在每個位置，於重疊區域上把解與它的反射相比。最大值原理與霍普夫邊界點引理讓你證明：只要平面還沒越過中心，反射後的解就保持在原解之下（或相等）——它們絕不相交。把平面一路推到中心。由相反一側來的同樣論證，解必定等於它越過中央平面的反射。由於方向是任意的，解便同時在每個方向上對稱——也就是徑向對稱。霍普夫還附贈一個獎勵：解在徑向上也嚴格單調，往外移時遞減。

這因吉達斯-倪-尼倫伯格定理而出名，該定理表明許多橢圓方程在球上的正解自動是徑向且徑向遞減的，也因塞林的超定問題結果而聞名。它是最大值原理式思考最深刻的回報之一：一個純定性的方法，給出你幾乎寫不出來的解的精確、剛性的幾何資訊。誠實提醒：它需要最大值原理能適用（橢圓結構、非線性項的符號條件）以及區域與資料有足夠的對稱——它很強大，但並非自動成立。