半線性方程（semilinear equation）
想像一個「大致上線性」的偏微分方程：所有亂糟糟的交互作用都被局限在單獨一個底層項裡，而高階導數——也就是控制方程如何擴散、振盪或彎曲的那部分——表現得完全線性。半線性方程正是這樣的折衷。它保留了我們充分理解的線性「頂樓」（最高階導數以常數或固定係數出現，不受未知函數影響），並把所有非線性集中到一個低階項，通常是解本身的某個函數 f(u)。
具體來說，一個二階半線性方程具有 L u = f(x, u, grad u) 的形式，其中 L 是只由最高階導數構成的線性微分算子，且其係數「不」依賴於 u——例如 u_t - Laplacian u = f(u)，或 u_tt - c^2 u_xx = g(u)。判別的方法是：看主部（最高階的那些導數）。若那些係數是固定的數或僅是 x 的函數，而未知函數 u 及其低階導數只透過一個額外的項進入，這方程就是半線性的。對照擬線性（最高階係數可以依賴 u 與低階導數，但對最高階導數仍是線性的）與全非線性（最高階導數以非線性方式出現）。於是反應擴散方程 u_t = D Laplacian u + f(u) 是半線性的；伯格斯方程 u_t + u u_x = 0 是擬線性的；蒙日-安培方程則是全非線性的。
這為什麼重要？因為保持主部線性，意味著方程的型（拋物型、雙曲型、橢圓型）一勞永逸地固定下來，於是你能仰賴強大的線性機器——基本解、能量估計、熱核或波核——並把 f(u) 當作一個擾動來處理。這正是初學者所遇到的多數非線性理論的入口：圖案形成、爆破、行波前緣。但要小心：即使是一個「溫和」的非線性項 f(u)，也可能摧毀唯一性、製造出有限時間內爆破的解，或支撐穩定的孤波。半線性是最溫和的一種非線性，並不保證良好的行為。
半線性熱方程 u_t - Laplacian u = u^p 有一個線性主部（u_t - Laplacian u，正是熱算子）加上一個非線性反應項 u^p。由於頂部不變，它是拋物型的、會平滑化資料——然而當 p > 1 時，這個 u^p 項卻能驅使解在有限時間內趨於無窮。線性的骨幹，非線性的驚奇。
線性的最高階部分 + 非線性的低階項 = 半線性。
「半線性」說的是非線性「位於何處」，而非它有多大。即使是看起來很小的 f(u)，也使方程真正成為非線性：疊加原理失效，於是你不能再把兩個解相加得到第三個解。