自相似解（self-similar solution）

看一滴墨水在靜水中散開。在一秒、四秒、九秒後各拍一張照。若你把後面的照片以恰當的倍率縮小，它們看起來與第一張一模一樣——同樣的形狀，只是更大。散開並不發明新形狀；它一次又一次地重新縮放同一個固定形狀。自相似解就是恰好做這件事的解：它在空間與時間協調的伸縮下重現自己。它是同一個分布變得更寬更矮。

精確地說：自相似解具有 u(x, t) = t^(-alpha) F(x / t^(beta)) 的形式，其中 F 是某個分布函數，alpha、beta 是指數。那個合併的單一變數 eta = x / t^(beta) 稱為相似變數，F(eta) 是普適分布。回報極大：把這個試解代入一個含兩個變數（x 與 t）的 PDE，會把它塌縮成一個對 F、只含單一變數 eta 的「常」微分方程——問題的維數下降，而 ODE 遠比較容易求解或分析。對熱方程 u_t = k u_xx，正確的指數是 beta = 1/2、alpha = 1/2，得到的分布 F 就是高斯：熱核本身就是擴散的基本自相似解。這個 1/2 說擴散按時間的平方根散開，是隨機遊走的標記。

自相似解的重要遠不止於好算：它們描述了一大類問題的長時間行為。很常見的是，從一般、雜亂的初始資料出發的解會忘掉它的細節，並在重新縮放後收斂到一個自相似分布——自相似解是這個動力學的吸引子。這就是為什麼幾乎任何局部初始熱的擴散最終都看起來像高斯。它們也組織了爆破（非線性解在有限時間內變成無窮，常以自相似方式）以及波前與中間漸近的研究。誠實提醒：自相似形式只在方程與資料具有縮放對稱時才存在；並非每個問題都有。