穩態熱分布（steady-state heat distribution）

把任何受熱物體放著夠久、周圍環境保持固定，它就不再變化——它沉澱成一個最終、不動的溫度分布。那個最終、不變的分布就是穩態熱分布。它是熱方程在時間趨於無窮時所朝向的目標。

穩態意味著 u 不再依賴時間，所以 u_t = 0。把它代入熱方程 u_t = k u_xx，得到 k u_xx = 0，也就是一維的 u_xx = 0，或高維的 Laplacian u = 0——拉普拉斯方程。所以熱方程的穩態是一個調和函數，滿足與原問題相同的邊界條件，但關掉了時間依賴。一維時 u_xx = 0 表示 u 是一條直線，所以兩端固定在溫度 a 和 b 的棒會沉澱成它們之間的線性插值分布。二維或三維時，你必須對拉普拉斯方程解狄利克雷（或諾伊曼）問題，配上給定的邊界資料。穩態是擴散的調和極限。

這連結了兩個模型 PDE：橢圓型的拉普拉斯方程正是拋物型熱方程在長時間、不依賴時間的極限。傅立葉模態的衰減把這件事具體化——每個時間依賴的模態以 e^(-k n^2 t) 死亡，所以隨 t 變大只有穩態部分存活。穩態存在且唯一的條件來自邊界型：狄利克雷資料給出唯一的調和穩態；純諾伊曼（完全隔熱）需要熱輸入平衡（一個相容性條件），此時穩態只決定到差一個可加常數，由初始總熱量守恆來固定。提醒：只有當邊界資料與源項本身不依賴時間，才會達到穩態；有隨時間變化的強迫時，解可能永遠不沉澱。