次調和函數（subharmonic function）

調和函數恰好坐落在其局部平均上。次調和函數則是坐落在其平均之上或之下——它們向上傾，伏在調和理想之下，就像凸曲線位於弦之下，只是這裡的比較是對球面取平均。它們是調和函數半放鬆的表親，也是在任何公式都嫌太不規則的區域上建造解的關鍵技術手段。

精確地說，若 u 在某區域上至多等於它在每個以區域內某點為心的小球面上的平均，則稱 u 在該區域上次調和：u 在中心的值小於或等於其周圍的球面平均。等價地，在 u 二次可微之處，Laplacian u 大於或等於 0——臨界的 Laplacian u = 0 是調和，而嚴格為正的拉普拉斯算子把 u 向上彎。一元凸函數是其一維模型。關鍵性質是單邊最大值原理：次調和函數只在邊界上達到其最大值（它可以低於一個調和比較者，但永不高於它），不過與調和函數不同，它未必服從任何最小值原理。超調和函數是其鏡像，Laplacian u 小於或等於 0。

次調和函數是佩龍法的引擎，該法能在本質上任意的區域上求解狄利克雷問題。其想法是取所有保持在邊界資料之下的次調和函數所成的族，並把解定義為它們的上包絡（逐點上確界）；在溫和條件下這包絡恰好是調和解。因為次調和性在取最大值下保持、且由一個不等式而非精確方程定義，這個族夠靈活，足以在沒有明確公式之處建造一個解。它們也瀰漫於複分析（對解析函數 f，log|f| 次調和）以及黏性解的現代理論。