佩龍法（Perron method）

帕松公式在圓盤上解狄利克雷問題、傅立葉級數在矩形上解它，但大多數區域並沒有這種整潔的公式。佩龍法是通用機器，能在幾乎任何區域上求解狄利克雷問題——不需對稱、不需特殊形狀——它由下往上用次調和函數建造解，而非把解寫出來。

精確地說，固定邊界資料 g，考慮佩龍族：區域上所有邊界值保持在 g 之上或之下的次調和函數。把候選解 u 定義為整個族的逐點上確界——在保持低於資料的前提下，你能把一個次解推到的最高處。一個基礎定理說：無論區域多複雜，這個上確界在內部自動調和；此構造從次解之族中擠出調和性。對任何合理的有界區域，內部解都存在。剩下的問題是 u 是否真的取到邊界值 g——而這正是幾何唯一進場之處。

邊界問題由障壁解決：若某邊界點處存在一個局部的超調和障壁函數把解釘在該處的資料上，則稱該點正則，而在正則點上佩龍解連續地取到邊界值。對良好區域每個邊界點都正則，狄利克雷問題完全解出。但誠實要求加上告誡：有些邊界點不正則——勒貝格的內凹刺是經典例子，一個尖到使解無法在該處連續貼合資料的尖點。佩龍法因此是恰當的一般化層級：它總能產生一個調和的內部，並藉由障壁與容量精確指出究竟哪些區域才有真正可解的狄利克雷問題。