單調迭代法（method of monotone iteration）
非線性橢圓方程沒有疊加原理、也沒有通用的解公式，故乾淨的線性機制——拉克斯-米爾格拉姆、弗雷德霍姆二擇一——無法直接套用。單調迭代法是一種穩健的構造性方式，仍能造出一個解：把它困在從下方與上方夾住它的兩個函數之間，再把兩者擠攏。它是「從低處起步往上爬、或從高處起步往下降以尋找不動點」的橢圓表親。
考慮配狄利克雷資料的半線性問題 - Laplacian u = f(x, u)。次解是一個「不足地滿足」方程的函數 u_low，即 - Laplacian u_low 不大於 f(x, u_low)；超解 u_high「過度地滿足」它，即 - Laplacian u_high 不小於 f(x, u_high)；且兩者有序，u_low 不大於 u_high。現在迭代。把一個大常數 K 移過去做線性化以讓右端單調（兩邊各加 K u，使 f(x, u) + K u 對 u 遞增），並反覆求解線性問題 - Laplacian u_(n+1) + K u_(n+1) = f(x, u_n) + K u_n，從 u_0 = u_low 起步。每一步只是一次線性狄利克雷求解，而單調結構加上最大值原理保證迭代單調地往上爬、並停留在 u_high 之下：u_low 不大於 u_1 不大於 u_2 不大於 ... 不大於 u_high。一個有界遞增序列收斂，其極限滿足那個非線性方程。改從 u_high 起步，你便下降到一個（可能不同的）解。
此方法因其初等而近乎算法化——只需最大值原理，無需深奧的泛函分析——並因其在次解與超解之間給出存在性、外加一個內建的比較而備受珍視：有一個從下方抵達的最小解、與一個從上方抵達的最大解，把其餘所有解夾在中間。它是反應擴散穩態、族群模型與燃燒問題的常備工具，凡是你能猜出一個太小的函數與一個太大的函數之處皆可用。它主要的限制很誠實：它仰賴擁有那個有序的對，這要求非線性配合（通常是某種單調性或單邊成長界），且它找到的是極端解，未必是其間的每一個解。
對配 u = 0 邊界的 - Laplacian u = lambda(1 - u) u（一個邏輯斯諦族群模型），常數 u_high = 1 是超解（因 1 - u = 0 使右端為零，而常數的 -Laplacian 為零，邊界又留有餘裕），u_low = 0 是次解。從 0 往上迭代，產生一個被困在 1 之下的遞增序列，每當 lambda 超過主特徵值時，它便收斂到一個正的穩態——存續的族群。
把解夾在一個不足的次解與一個過度的超解之間，再擠攏。
單調迭代找到夾界中的最小解與最大解，但一個非線性問題在兩者嚴格之間可能還有此方法永遠抵達不了的額外解。而它確實依賴於找到一對有序的次解／超解——對缺乏正確單調性或符號結構的非線性，這樣的對並不存在，方法便根本不適用；你必須改用變分或拓撲（度理論）方法。