主特徵值（principal eigenvalue）
在鼓的所有音之中，有一個與眾不同：最低的、基音的——最慢、最單純、沒有內部節線的振動，整片膜同時朝同一方向擺動。主特徵值就是那個最低音 lambda_1 的數學名稱，其特徵函數是基態。它的特殊不只在於最小，更在於一串其他特徵值都不享有的特權。
對連通區域上的狄利克雷拉普拉斯算子，主特徵值 lambda_1 是雷利商（|grad u|^2 的積分除以 u^2 的積分）在所有容許 u 上的極小值。三項事實使它成為「主」者。第一，它嚴格最小，且嚴格為正（正性來自龐加萊不等式——一片被夾住的膜不可能有零能量）。第二，它是單純的：其特徵空間是一維的，故基模態在差一純量下唯一。第三，也最引人注目，其特徵函數可取為在整個內部嚴格為正——它從不變號、沒有內部節點，這與每個更高的模態都不同。這三者——最低、單純、定號——是橢圓算子之克萊因-魯特曼／佩龍-弗羅貝尼烏斯定理的內容，是「正矩陣有一個正的主特徵向量」這一事實的無窮維表親。
正是這份定號性，讓 lambda_1 成為遠超聲學的主力。它是穩定性的門檻：在反應擴散模型中，一個穩態穩定的充要條件，恰是線性化的主特徵值符號正確，故 lambda_1 決定一個族群是存續還是滅絕、一個花樣是否形成。它支配非線性橢圓問題正解的存在性（lambda_1 與反應率的符號對比是成敗關鍵）、熱方程的長時間衰減率（解如 e^(-lambda_1 t) 般消亡）、以及量子基態能量。當人們說「譜隙」時，他們指的是 lambda_1 到譜其餘部分的距離，而那個隙控制一切鬆弛到平衡的快慢。
在區間 (0, L) 上配 u(0) = u(L) = 0，特徵值為 (n pi 除以 L)^2，特徵函數為 sin(n pi x 除以 L)。主特徵值是 n = 1：lambda_1 = (pi 除以 L)^2，特徵函數 sin(pi x 除以 L)，它在整個開區間上嚴格為正、沒有內部零點——課本上的基模態。每個更高模態 sin(2 pi x 除以 L)、sin(3 pi x 除以 L) 都變號；只有第一個不變號。
基模態是唯一定號的特徵函數——最低音、沒有內部節點。
單純性與正特徵函數需要區域是連通的。在由兩塊不相交部分構成的區域上，lambda_1 可以重複（每塊各有一個模態），故它不再單純，正特徵函數的說法也破功。主特徵值是單一連通區域的特性，而非不連通者的。