狄利克雷特徵值問題（Dirichlet eigenvalue problem）
/ DEER-ish-lay /
敲一面鼓，它以一組確定的音高鳴響——一個最低的基音與一階階更高的泛音，全由鼓面的形狀決定。狄利克雷特徵值問題正是這件事的數學：找出那些特殊的數 lambda 與特殊的形狀 u，使得在某區域內 - Laplacian u = lambda u，而 u 在剛性邊界上保持為零。那些 lambda 是頻率的平方，特徵函數 u 是振動模態，被夾住的邊緣就是狄利克雷邊界條件。
形式上：在有界區域上，找非零的 u 使內部 - Laplacian u = lambda u 而邊界上 u = 0。因為這裡的拉普拉斯算子是自伴的、其逆是緊的（又是雷利希-孔德拉霍夫），譜定理適用，結構漂亮而剛性。特徵值構成一個離散序列 0 < lambda_1 < lambda_2 不大於 lambda_3 不大於 ...，向無窮邁進，除了在無窮處沒有聚點，每個值都有有限重數。特徵函數可取為在 L^2 中正交歸一，並構成完備基底——區域上每個合理的函數都用它們展開，這是傅立葉級數的高維類比。在矩形上，特徵函數是正弦的乘積，特徵值是整數平方之和乘 pi^2；在圓盤上，它們是貝索函數乘角向的正弦與餘弦。
這個譜是幾何與分析之間的橋樑。它控制熱方程解的衰減快慢（每個傅立葉模態如 e^(-lambda_n t) 般消亡，故最小特徵值決定最慢的衰減）、波動方程的固有頻率、以及量子力學中的基態能量。卡茨著名的問題「你能聽出鼓的形狀嗎？」——譜是否決定區域？——其答案一般而言為否（存在譜完全相同的不同形狀），但特徵值確實透露大量幾何，包括透過外爾定律得到的面積與周長。
在邊長 pi 的正方形上，四邊皆 u = 0，分離變數給出特徵函數 sin(m x) sin(n y)（m、n 為正整數），特徵值 lambda_(m,n) = m^2 + n^2。基音是 m = n = 1，lambda_1 = 2；其次是 m,n = 1,2 或 2,1，lambda = 5（一個二重簡併的泛音）。這些正是方形鼓的共振音高。
每個特徵值是一個頻率的平方，每個特徵函數是一個振動模態——簡併就是重複的音。
邊界條件是問題的一部分，而非細節：狄利克雷譜（邊上 u = 0）不同於諾伊曼譜（法向導數為零），後者著名地從 lambda = 0 開始，配一個常數特徵函數。換掉邊界條件，每個特徵值都會改變。此外，不同特徵值的特徵函數自動正交，但在一個簡併的特徵空間內，你必須親手選一組正交基底。