史特姆-劉維理論與特徵函數展開
特徵函數的完備性（completeness of eigenfunctions）
當你用座標軸構造一個向量時，你信任這些軸是足夠的——沒有任何軸搆不到的殘餘。完備性就是對特徵函數的同一份信任：模態 u_1, u_2, u_3, ... 豐富到足以表示每個合理的函數，毫無遺漏。它是史特姆-劉維定理中說「這組基底不缺任何方向」的那一半。
形式上，特徵函數 {u_n} 在加權平方可積空間（帶權重 w 的 L^2）中完備，是指每個這樣的函數 f 都能被其特徵函數展開的部分和在均方意義下任意逼近：誤差 (f - 從 1 到 N 的 c_n u_n 之和)^2 w 的積分，當 N 趨於無限時趨於 0。等價地，帕色伐等式成立——f 的總加權「能量」等於係數平方之和，f^2 w 的積分 = c_n^2 乘範數之和——所以在過渡到級數時沒有能量損失。
它之所以重要：單有正交性是不夠的。你可能擁有一個遺漏了某些方向的正交族，那麼某些函數就永遠無法被展開。完備性是保證特徵函數展開真正等於 f、保證分離變數法重建出真正的解而非僅其一部分。史特姆-劉維定理對正則問題自動提供完備性；相關的默瑟定理透過算子的核表達同一事實。
正弦族 {sin(n*pi*x/L)} 在 [0, L] 上完備：每個 L^2 函數——即使是不連續的階梯或鋸齒狀的鋸波——在均方意義下都等於它的傅立葉正弦級數。帕色伐說 f^2 從 0 到 L 的積分 = (L/2) b_n^2 之和：函數的能量完全由其係數計入，毫無損失。
完備性加上帕色伐：級數捕捉了 f 的全部，連能量也一併。
完備性預設是均方（L^2）意義，這並不蘊含級數在每一點逐點收斂——在跳躍處它會過衝（吉布斯）並收斂到中點值。較強的（一致、逐點）收斂需要 f 額外的光滑性，而非僅靠完備性。
又称
另见