特徵函數展開（eigenfunction expansion）
特徵函數展開就是把一個函數——更重要的是把整個偏微分方程的解——改寫成對問題自然模態求和的動作。它與廣義傅立葉級數是同一招，但這個名稱強調的是策略：換到那個讓算子變成對角的座標系。
以下是這個方法的樸素步驟。取一個偏微分方程，比如區間上配齊次邊界條件的 u_t = k u_xx。配那些條件的史特姆-劉維特徵值問題 -X'' = lambda X 給出模態 X_n(x) 與特徵值 lambda_n。把未知解寫成 u(x, t) = T_n(t) X_n(x) 之和。代入：每個 X_n 只是被乘上 lambda_n，於是偏微分方程逐個模態地塌縮為簡單常微分方程 T_n' = -k lambda_n T_n，解為 T_n(t) = T_n(0) e^(-k lambda_n t)。初始係數 T_n(0) 正是初始資料的展開係數。你已把一個偏微分方程化為無窮多個互不耦合、平凡的常微分方程。
這就是把線性代數的對角化想法搬進函數空間。在特徵基底中對稱矩陣變為對角，你逐個分量求解；在特徵函數基底中微分算子變為「把模態 n 乘上 lambda_n」，你逐個振幅求解。每一種模態解法——熱衰減、鼓的振動模態、量子定態——都是特徵函數展開。它是有界區域上線性偏微分方程最可重複使用的單一工具。
細桿中的熱，配 u(0,t) = u(L,t) = 0 與 u(x,0) = f(x)：把 f 展開為 b_n sin(n*pi*x/L) 之和，則 u(x,t) = b_n e^(-k (n*pi/L)^2 t) sin(n*pi*x/L) 之和。每個模態只是以自己的速率 lambda_n = (n*pi/L)^2 衰減——高階模態消失得快，這正是熱方程平滑資料的原因。
把資料用特徵函數展開，讓每個模態依自己的常微分方程演化，再加總回去。
此方法要求邊界條件齊次（為零），如此每個模態才能各自滿足它們；非齊次邊界資料須先藉由減去一個穩態而去除。特徵函數展開是有限區域的工具——在無限區域上離散的求和會變成傅立葉轉換的積分。