空間特徵值問題（spatial eigenvalue problem）
分離之後，時間部分 T(t) 通常是個容易的常微分方程，答案是乾淨的指數或振盪。真正的結構全在空間部分：一個關於 X(x) 的常微分方程，連同從問題繼承來的邊界條件。問題在於這個小小的常微分方程裡有一個自由的數，即分離常數 lambda——而並非每個 lambda 都給出可用的答案。空間特徵值問題就是要問：對「哪些」lambda 值，X 才有同時滿足邊界條件的非零解？
取區間 0 到 L 上、X(0) = X(L) = 0 的 X'' + lambda X = 0。對多數 lambda，唯一同時滿足兩端的解是無聊的 X = 0，什麼也得不到。但對特殊值——lambda_n = (n pi / L)^2——一個真正的波 X_n = sin(n pi x / L) 恰好嵌進兩個固定端之間。那些特殊的 lambda_n 是特徵值；存活下來的形狀 X_n 是特徵函數。邊界條件在做挑選：狄利克雷條件（X 在兩端為零）挑出正弦；諾伊曼條件（X' 在兩端為零）挑出餘弦；週期條件兩者都挑。
這正是線性代數意義下的特徵值問題，微分算子扮演矩陣的角色：你尋找算子只是把它縮放的那些特殊輸入。它解釋了為何模態是離散的，以及為何傅立葉級數（而非任意組合）才是自然的語言。至於哪些邊界值問題總是擁有一族完整且正交的特徵函數，那更深的理論是史特姆-劉維理論；這裡我們只在標準區間與形狀上使用它的結論。
在 0 < x < L 上比較狄利克雷與諾伊曼：取 X(0) = X(L) = 0 時特徵函數為 sin(n pi x / L)，n = 1, 2, ...；取 X'(0) = X'(L) = 0 時為 cos(n pi x / L)，n = 0, 1, 2, ...（注意 n = 0 給出常數）。同一個常微分方程，不同的端點，不同的模態族。
決定你得到正弦還是餘弦的，是邊界條件而非微分方程本身。
別忘了把 lambda = 0 與 lambda < 0 單獨檢查，不要只看 lambda > 0。對狄利克雷條件這些情形只給出 X = 0，但對諾伊曼或週期條件，lambda = 0 給出一個真實、非平凡的特徵函數（常數），它就是級數的常數項。