傅立葉正弦級數（Fourier sine series）
假設你只想用正弦波組出一個形狀——沒有餘弦，也沒有常數項。每個正弦 sin(n pi x / L) 在區間 0 到 L 的兩端都為零，所以它們的和自動被釘在兩端為零。這使正弦級數成為狄利克雷邊界條件問題的完美搭配——在那裡未知量必須在邊界上消失，例如兩端夾住的弦，或兩端維持零溫的棒子。
函數 f 在 0 到 L 上的傅立葉正弦級數是 f(x) = 對 n >= 1 求和 b_n sin(n pi x / L)，係數 b_n = (2/L) 乘上 f(x) sin(n pi x / L) 從 0 到 L 的積分。因子 2/L 與積分直接來自正交性：兩邊乘上某個特定的正弦再積分，除了一項以外全都抵消，留給你單一個係數。每個 b_n 量測該正弦形狀有多少藏在 f 之中。
在幾何上，把 f 在 0 到 L 上展成正弦，等同於先把 f 作奇延拓到 -L 到 L，再取其完整傅立葉級數——奇函數只有正弦項。這就是為何正弦級數自然產生在兩端為零（且為奇）的函數：它吻合狄利克雷資料。在分離變數法中，當空間特徵函數呈現為正弦時——也就是邊界條件把解在邊緣維持為零時——你正好取用正弦級數。
把 f(x) = 1（常數 1）在 0 < x < L 上展成正弦級數。係數為 b_n = (2/L) 乘 sin(n pi x / L) 從 0 到 L 的積分 = (2/(n pi))(1 - cos(n pi))，對奇 n 為 4/(n pi)，對偶 n 為 0。所以在區間內部 1 = (4/pi)[ sin(pi x/L) + (1/3) sin(3 pi x/L) + ... ]——儘管這個和在 x = 0 與 x = L 恰好被迫為零。
對一個在兩端非零的函數作正弦級數，仍會把它在那裡釘成零——這個內建的不吻合正是吉布斯過衝的成因。
只在狄利克雷（兩端為零）邊界條件下使用正弦級數。若函數在某端確實非零，正弦級數在那裡會收斂到零而非函數值——這個落差在奇延拓中產生跳躍，並伴隨吉布斯過衝。