傅立葉係數公式（Fourier coefficient formulas）
若一個函數真的是正弦與餘弦之和，你要如何查出其中每個的「含量」？你無法只是盯著函數就讀出振幅。傅立葉係數公式正是精確的積分配方，一次一個地抽取每個振幅，像一支只與某個頻率共振、對其餘一律忽略的音叉。
對週期為 2L 的函數 f，公式是 a_0 = (1/L) f 在一個週期上的積分，a_n = (1/L) f(x) cos(n pi x / L) 在一個週期上的積分，b_n = (1/L) f(x) sin(n pi x / L) 在一個週期上的積分。使它們成立的訣竅是正交性：把整個級數乘上（譬如）cos(m pi x / L) 再在一個週期上積分。每個交叉項——餘弦乘不同餘弦，或餘弦乘任何正弦——積分恰好為零。只有相符的那一項存活，留下單一個係數乘以 L。除以 L，你便孤立出 a_m。這個積分實際上就是把 f 投影到一條基底波上。
這些公式是每一次分離變數計算的引擎。一旦你把偏微分方程的初始資料展成特徵函數，係數正是這些積分，它們告訴你每個分離模態的振幅。同樣的投影觀念遠遠推廣到三角函數之外：配上權函數，它給出貝索或勒壤得展開的係數，而抽象地說，它不過是對一個正交基底取內積。
要求週期為 2pi 的函數 f 的 b_3，計算 b_3 = (1/pi) f(x) sin(3x) 從 -pi 到 pi 的積分。把 f 的級數乘上 sin(3x) 再積分，會消去除含 sin(3x) 那項以外的每一項：正交性給出 sin(3x) sin(nx) 的積分在 n = 3 時為 pi、否則為 0。所以這個積分恰好讀出藏在 f 中 sin(3x) 的份量，別無其他。
每個係數是 f 與一條基底波的內積；正是正交性讓你能一個一個地讀出它們。
各書的歸一化慣例不同：1/L、2/L 或 1/(2L) 的因子，以及常數項寫成 a_0/2 還是 a_0。務必確認採用哪套慣例，否則你的常數項會差兩倍。